Determinan dan Invers Matriks

 Determinan dan Invers suatu matrikssangat berguna dalam penerapan matriks. Salah satunya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang bisa kita selesaikan baik menggunakan metode determinan atau metode invers. Metode matriks ini kita pilih karena secara komputasi akan mudah diterapkan, hal ini terjadi karena perhitungan determinan dan invers berlaku secara sistematis dan pasti. 

Determinan Matriks 

         Suatu Matriks mempunyai determinan jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi. Untuk lebih jelasnya mengenai matriks persegi, sobat bisa baca materi "jenis - jenis matriks" . Determinan matriks A bisa ditulis det(A) atau |A|. 

Determinan matriks 2×2$\mathrm{}\mathrm{}$

Misalkan matriks A=(acbd)$\begin{array}{cc}& \\ & \end{array}$ 
det(A) = |A| = a×d−b×c

Untuk menentukan determinan matriks 3×3$\mathrm{}\mathrm{}$dapat menggunakan cara Sarrus yaitu dua kolom pertama dipindahkan ke sebelah kanan matriksnya 
Misalkan matriks A=⎛⎝⎜⎜a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎞⎠⎟⎟$\begin{array}{ccc}{}_{\mathrm{}}& {}_{\mathrm{}}& {}_{\mathrm{}}\\ {}_{\mathrm{}}& {}_{\mathrm{}}& {}_{\mathrm{}}\\ {}_{\mathrm{}}& {}_{\mathrm{}}& {}_{\mathrm{}}\end{array}$ 
determinan matriks A adalah : 

 Catatan : Metode Sarrus hanya bisa digunakan untuk matriks 3×3$\mathrm{}\mathrm{}$ saja. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar, bisa mengggunakan Metode Kofaktor . Metode kofaktor ini bisa digunakan untuk menentukan determinan semua ukuran matriks persegi. 

Contoh :  

Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut : 

A=(2415) dan B=⎛⎝⎜⎜2−1213−3304⎞⎠⎟⎟

Penyelesaian : 

*). determinan matriks A , 

|A|=2.5−1.4=10−4=6 

*). determinan matriks B , 

Determinan matriks menggunakan Metode Kofaktor 

         Metode kofaktor merupakan metode umum yang dapat digunakan untuk menentukan determinan dan invers suatu matriks. Sebelum menentukan kofaktornya, kita harus menentukan sub matriksnya atau minornya terlebih dahulu. 

Pengertian Minor suatu matriks

Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j.

Misalkan matriks A=⎛⎝⎜⎜a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎞⎠⎟⎟ 

Adapun Minor matriks A pada baris satu : 

 M11,M12, dan M13 merupakan submatriks (minor) hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks A. 

Pengertian kofaktor suatu matriks

Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan kij=(−1)(i+j)×|Mij| . Bentuk |Mij|menyatakan determinan dari minor Mij . Untuk menentukan nilai determinan matriks A dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja, misalkan ekspansi baris ke-1. 

Determinan matriks A berdasarkan ekspansi baris ke-1

A|=a11.k11+a12.k12+a13.k13 

|A|=a11.(−1)(1+1).|M11|+a12.(−1)(1+2).|M12|+a13.(−1)(1+3).|M13|

|A|=a11.(−1)(1+1).∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣+a12.(−1)(1+2).∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.(−1)(1+3).∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣

|A|=a11.(−1)2.∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣+a12.(−1)3.∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.(−1)4.∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣

|A|=a11.1.∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣+a12.(−1).∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.1.∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣

|A|=a11.∣∣∣a22a32a23a33∣∣∣−a12.∣∣∣a21a31a23a33∣∣∣+a13.∣∣∣a21a31a22a32∣∣∣

Catatan : menentukan determinan dengan metode kofaktor dapat menggukanan sembarang ekspansi, misalkan ekspansi baris ke-1, atau baris ke-2, atau baris ke-3, atau bisa juga menggunakan ekspansi kolom ke-1, atau kolom ke-2 atau kolom ke-3. 

Contoh : Tentukan determinan matriks B=⎛⎝⎜⎜2−1213−3304⎞⎠⎟⎟ 

Penyelesaian : metode kofaktor berdasarkan ekspansi baris ke-1 

*). Menentukan minor baris ke-1 

*). Menentukan kofaktor ekspansi baris ke-1 

k11=(−1)(1+1).|M11|=(−1)2.12=12

k12=(−1)(1+2).|M12|=(−1)3.(−4)=(−1).(−4)=4

k13=(−1)(1+3).|M13|=(−1)4.(−3)=−3

*). Menentukan determinan ekspansi baris ke-1 

|B|=b11.k11+b12.k12+b13.k13=2.12+1.4+3.(−3)=24+4+(−9)=19 

Jadi determinan matriks B adalah 19. 

Invers Matriks 

         Invers suatu matriks dilambangkan A−1 , A−1 melambangkan invers dari matriks A. Secara umum hanya matriks persegi yang mempunyai invers. Berikut penjelasannya tentang invers. 

Invers matriks 2×2

Misalkan matriks A=(acbd) 

det(A) = |A| = a×d−b×c  

invers matriks A adalah A−1=1|A|(d−c−ba)

Contoh : 

Tentukan invers dari matriks A=(3221) ? 

Penyelesaian : 

*). Determinan matriks A : |A|=3.1−2.2=3−4=−1 

*). Invers matriks A : 

A−1=1|A|(d−c−ba)=1−1(1−2−23)=−1(1−2−23)=(−122−3)

Jadi, invers matriks A adalah A−1=(−122−3) 

Invers matriks 3×3 dengan metode kofaktor

Secara umum, invers suatu matriks misalkan matriks A adalah 

                   A−1=1|A|.adj(A) 

adj(A) artinya adjoin dari matriks A yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks kofaktor.  

Misalkan matriks kofaktornya : K=⎛⎝⎜⎜k11k21k31k12k22k32k13k23k33⎞⎠⎟⎟  

dengan kij=(−1)(i+j)×|Mij| 

maka adjoin matriks A adalah adj(A)=Kt . 

Menentukan invers semacam ini disebut menggunakan metode kofaktor.

Catatan : 

Rumus invers matriks A adalah A−1=1|A|.adj(A) , dari rumus ini diperoleh : 

*). Jika |A|=0 (determinan = 0) , maka matriks tidak punya invers (disebut matriks singular) 

*). Jika |A|≠0 (determinan ≠ 0) , maka matriks punya invers (disebut matriks non singular)